Matematiksel Düşüncenin Günlük Hayata Olan "Üstel" Etkisi

Türk toplumunda sebebini kavrayamadığım bir matematik korkusu bulunuyor. Eğitim sistemimiz matematik adı altında ezbere dayalı bir ders vermekte, ve matematiksel düşünce öğretilmeden matematik problemleri çözdürülmeye çalışıyor. Örneğin lise 1. sınıf konusu olan, ve öğretmesi aylar süren bir "problemler" konusu var. İlk defa analiz yeteneğinin gerçek hayatta nasıl kullanılabileceği öğretilebilecek iken, her problem tipine ait özel bir "soru çözme tekniği/taktiği" öğretilmekte. Havuz problemleri için ayrı, yaş problemleri için ayrı, sayı problemleri için ayrı formüller veriliyor, fakat formüllerin neden var olduğu ve problemle karşılaşıldığında öğrencinin kendi formülünü nasıl üreteceği öğretilmiyor. Şimdi bir örnek soru üzerinden formüllerin nasıl üretileceğini, ve daha sonrasında bir örneğe bağlı olmadan analiz yapmanın temel taşlarını size anlatacağım.

Örnek Soru:

Elimizde biri kalın, biri ince olan aynı boyda iki tane mum bulunmakta. Kalın mum toplamda 8 saat, ince mum ise toplamda 5 saat sonunda bitmektedir. İki mumu aynı anda yaktıktan ne kadar süre sonra kalın mumun boyu ince mumun boyunun 3 katı olur?

Çözüm:

İki mumun farklı hızlarda yanması ve böylece boyunun farklı hızlarda azalması gerektiğini biliyoruz. Sorunun bizden istediği şey iki mumun boyları arasındaki ilişki olduğuna göre, mumların boyları üzerine düşünmemiz ve işlemleri boylar üzerinden yapmamız bizi sonuca rahatlıkla götürebilecek yollardan biri..

Mumların boyları hakkında herhangi bir bilgi bize soru tarafından verilmemiş, fakat zaten böyle bir bilgiye ihtiyacımız yok. Bizden istenen şey iki mumun boylarının birbirlerine olan oranı. Örneğin biri 30 cm diğeri 10 cm olan iki mumun boyları 3'e 1 oranlarda. Aynı şekilde 60 cm ve 20 cm boylarındaki iki mumun boyları oranı da 3'e 1. O zaman mumların boylarının tam olarak kaç olduğu bizim için önemli değil. Yine de boy ölçümünü sayılarla gerçekleştirdiğimiz için mumlara istediğimiz miktarda bir boy verebiliriz.

Mumlara verdiğimiz boyut önemli olmadığı için, boyutu bir değişken ile temsil edebiliriz. Özellikle belirtmemiz gereken tek şey, bu değişkenin bir sayıyı temsil ettiği; ki böylece soruyu yukarıda belirttiğimiz "boylar üzerinden çözüm" yoluyla, değişken üzerine yapacağımız işlemler üzerinden ilerletebiliriz. 

İki mumun boyunu "x" değişkeni ile temsil edelim. Mumları yaktığımızda gerçekleşmesini beklediğimiz şey, mumların boylarının azalması. Boyların ne kadar azalacağını ise mumların yanma hızından, yanma hızlarını ise mumların toplam yanma süresinden çıkarabiliriz. 8'er ve 5'er saat ömrü olan bu iki mumun, ortak bir süre içinde boylarının ne kadar azalacağını düşünelim. 8 saat ömrü olan mumumuz, 1 saat sonunda ömrünün 8'de 1'ini tamamladığı için, boyunun 8'de 1'ini kaybedecektir. Aynı şekilde 5 saat ömürlü mum 1 saat sonunda boyunun 5'te birini kaybedecektir. Boyları x miktarda olduğu için, 8 saatlik mumumuz her 1 saat için x/8 boy ve 5 saatlik mum x/5 boy kaybedecekler. 

Şimdi 1 saat zaman diliminde kaybedilen boyu iki mum için bildiğimize göre, farklı sürelerde ne kadar boy kaybedeceklerini ölçebiliriz. İki saat sonra kalın mum 2x/8 boy, ince mum 2x/5 boy kaybedecek. Üç saat için 3x/8 ve 3x/5 boy kaybedecekler. O zaman, herhangi t tane saat dilimi için kaybedilecek boy miktarı buradan çıkarılabilir. Örneğin yarım saat içinde kaybedilecek boy t=1/2 ile, 15 dakika ise t=1/4 ile temsil edilecek. Böylelikle, herhangi t tane saat içinde kalın mum tx/8 boy, ince mum tx/5 boy kaybedecek. 

Tekrar sorunun istediği bilgiye dönelim. Ne kadar süre sonra mum boyutlarının oranının 3'e 1 olacağını bulmak istiyorduk. Şimdi sorunun çözümünü ortaya çıkaracak formülü rahatlıkla yazabiliriz.

Kalın mumun t saat sonra boyu: [x - tx/8]

İnce mumun t saat sonra boyu:  [x - tx/5]

Boyların oranı: 3

Yani, üstteki formül bölü alttaki formül tam olarak 3'e eşit olacaktır. Buradan sonrası basit cebirsel işlemlerle hesaplanabilir.

Gelin şimdi bu örneği parça parça inceleyelim. Soruların her birinde soru tarafından bize verilen bilgiler, ve bulunması gereken bir sonuç var. Mumların boylarının eşitliği ve yanma süreleri bize verilen bilgiler, ve belli bir süre sonra ulaşacakları boy oranları da bulmamız istenen sonuç. Formülü oluşturmak için kullandığımız tüm bilgi mumların özellikleri. Gerçekleşecek olayın detaylarını ise geçmiş tecrübelerimizden yararlanarak oluşturduğumuz mantıki süreçler olarak kullandık. Verilen bilgiyi mantıki süreçler üzerinden yorumlamak bize tam da ihtiyaç duyduğumuz bilgiyi basit işlemler sonucunda verdi. İşte tam da matematik dersinde bize verilmesi gereken düşünce tarzı bu. Her ne kadar bu konuda önümüze öğretmenlerin yazdığı ve gerçek hayatta karşımıza çıkması olası olmayan örnekler çözülse de, çözümün altında yatan mantıki süreçler sorunların her birinin özel detaylarında kaybolmadan, yani soruya/probleme özel yeni bilgiler öğrenmeden çözüm üretmemizi sağlıyor. Bana sorarsanız matematik deyince başka bir şey düşünmemize gerek yok.

Son olarak bu yeteneği, yani matematiksel düşünceyi hayatımıza katarsak gerçekleşebilecek şeyleri yazmak istiyorum. 

1. Ezber ihtiyacı tamamen ortadan kalkıyor.
    
2. Tüm sayısal derslerin kolaylaşmasını sağlıyor
    
3. Hayat felsefesi oluşturuyor, tutarlı bir ilerleyiş sağlıyor
    
4. Her eylemin mümkün olduğunca fazla insana yarar sağlamasına izin veriyor
    
5. Aceleci ve önyargılı eylemlerin önüne geçiyor
    
6. Optimizasyon ve risk analizi kolaylaşıyor.

Yetenek yazmış olmamı umursamayın. Üniversite öncesi öğrenimimin tamamını bu yeteneğe sahip olmadan geçirdim. Üniversitede bu yetenekle karşılaşmamış olmak belki de hayatım boyunca başıma gelebilecek en iyi şey olabilir. Özel ders vermek istememin ana sebebi de mümkün olduğunca fazla insana bu yeteneği öğretmek, korkarak baktıkları birçok şeye yeni bir bakış açısı katmak, ve belki de yıllar boyunca farklı sebeplerden dolayı baskılanmış olan yeteneklerini ortaya çıkarmak. Akademisyenlerimin bana aktardığı bu düşünce tarzının temel taşları üzerine bireysel çalışmalarım ile geliştirdiğim bu yeteneğe, benim kadar zaman harcamadan sizin de sahip olmanızı istiyorum. 

Günlük hayatta matematik ne işimize yarar? başlıklı yazımızı incelemenizi tavsiye ederiz.