Matematiksel Paradokslar

Bu yazıda matematiğin en eğlenceli yapılarından biri olan paradoks kavramına değineceğiz. Paradoks, görünüşte doğru olan bir ifade veya ifadeler topluluğunun bir çelişki yaratması veya sezgiye karşı bir sonuç yaratmasıdır. Çoğunlukla, çelişkili gözüken sonuç veya sonuçların aslında çelişkili tarafları vardır. Paradoks teriminin karşılığı olarak Türkçe’de yanıltmaç ve çatışkı sözcükleri de kullanılmaktadır. Ayrıca kendi içinde çelişen veya tam tersi şekilde sonuç olarak doğru olan fakat absürd veya çelişkili gözüken bir ifadeye veya ifadeler bütününe de paradoks denmektedir.

Şimdi de ünlü paradoks örneklerinden birkaçını açıklayalım.

Euplides'in Kum Yığını Paradoksu: Euplides, hiçbir zaman bir "kum yığını" oluşturulamayacağını iddia etmiştir. Çünkü bir kum tanesi, "yığın" değildir. Yanına bir tane daha koyarsak yine yığın oluşmaz. "Kum yığını" olmayan bir şeyin yanına (veya üzerine) kum tanesi koymakla yığın elde edemeyeceğimize göre hiçbir zaman "kum yığını" oluşturamayız.

Berber Paradoksu: Köyün birinde bir berber, bulunduğu köydeki erkeklerden, yalnızca kendi kendini traş edemeyen erkekleri traş ediyor. O halde berberi kim traş edecek? Kendi kendine traş olsa, kendisini traş edebildiği için tanıma ters düşecek. Başkası traş etse, kendi kendini traş edemiyor demektir. Ama berber kendi kendini traş edemeyen erkekleri traş ediyordu, yani kendisini de traş etmeliydi. Dolayısıyla her iki durumda da bir çelişkiye varılır.

Paradoks deyince akla ilk gelen isimlerden biri Antik Yunan filozofu ve mantıkçısı olan Zeno'dur. Zeno, Parmenides adında bir filozofun öğrencisidir. Parmenides’in savunduğu felsefe, gerçeğin sadece bir tane ve değişmez olduğunu söylüyordu. Ona göre, hareket, değişim, zaman ve çokluk kavramları küçük birer hayaldiler. Zeno’nun paradoksları ise bu görüşün tam tersini kabul ederek yazılmışlardır. Zeno’ya gore gerçeklik tek değildi, birçok farklı gerçek olabilirdi ve bu gerçeklikler tezatlarla doluydular.

Dikotomi(İkilik özelliği) Paradoksu: Bu paradoksa göre hareket yoktur. Çünkü bir hareketin olabilmesi için belirli bir zaman diliminde belirli bir mesafenin yapılmış olması gerekir. Bunun için de istenilen mesafenin önce yarısı, sonar kalan mesafenin yarısı, daha sonra kalanın yarısı vb…gidilmesi gerekir. Ancak her zaman gidilmemiş bir “kalan yolun yarısı” olacaktır. Dolayısıyla hareket hiç başlamamıştır.

Tavşan-Kaplumbağa Paradoksu: Hareketli bir tavşan hiçbir zaman kendisinden ilerdeki hareketli bir kaplumbağayı yakalayamaz. Çünkü kaplumbağayı yakalaması için öncelikle, seçilen bir anda kaplumbağanın bulunduğu noktaya gelmesi gerekir. Tavşan o noktaya gelene kadar kaplumbağa biraz daha ilerlemiş olur. Daha sonra ilerideki kaplumbağanın o anda bulunduğu noktaya gidene kadar kaplumbağa biraz daha ilerler. Sonuçta kaplumbağa hareketli olduğundan, tavşan, kaplumbağayı asla yakalayamaz.

Ok paradoksu: Zaman “an” lardan oluşmuştur. “An”zamanın en küçük parçasıdır ve bölünemez. Bir ok hareketli veya hareketsiz olsun, aslında ok hiçbir zaman hareket edemez. Çünkü hareketin gerçekleşmesi için okun bir anın başlangıcında bir noktada, anın sonunda da başka bir noktada olması gerekir. Ancak bunun olması için “an” ın bölünebilir olması gerekir ki bu da tanıma göre mümkün değildir. Dolayısıyla ok aslında hareket etmemiştir.

Giritli Epimenides'in "Bütün Giritliler yalancıdır" sözü ve "Bu cümle yanlıştır." cümlesi de sözel paradoksların meşhur örneklerindendir. Siz de bildiğiniz/duyduğunuz diğer paradoks örneklerini yorum olarak yazabilirsiniz.

Matematik Öğretmeni - Engin Hoca