Çarpanlara Ayırma Konu Anlatımı ve Örnek Soru Çözümleri

Matematik eğitim hayatımızın her yerinde olan bir ders. Çarpanlara ayırma konusu da bu dersin önemli konuları arasında yer alıyor. Bu konu başta denklem çözümleri olmak üzere birçok işlem için olmazsa olmazlardan. Özellikle lise öğrencileri için bu konunun detaylı bir şekilde bilinmesi gerekiyor. Bu yüzden biz de yazımızda çarpanlara ayırma konu anlatımı detaylarına yer vereceğiz.

Çarpanlara ayırma, toplama ve çıkarma işlemi şeklinde verilen ifadelerin çarpım ve bölüm şeklinde değiştirilmesidir. Çarpanlara ayırma günlük yaşantımızda birçok yerde kullanılıyor. Hatta NASA tarafından uzaya gönderilen robotların renkli ve iki boyutlu görünmesi için kullanılmıştır. 

Çarpanlara ayırma, matematiğin en temel konularından biridir ve matematik alanında önemlidir. Bu yüzden birçok sınavda karşımıza sık sık çıkıyor. Özellikle ikinci dereceli denklem çözümü işlemlerinde fazlasıyla kullanmak zorunda kalırız. Buna ek olarak limit belirsizlikleri sorularında, çarpanlara ayırma konusundan faydalanırız. Çarpanlara ayırma konu anlatımı yazımıza, çarpanlara ayırma yöntemlerinin anlatımı ile başlıyoruz. Çarpanlara ayırma yöntemleri ve örnekleri şu şekildedir:

Ortak Çarpan Parantezine Alma
 

Verilen ifadede ortak olan harf ve sayı var ise ortak çarpan parantezine alınır. Bunun amacı terim sayısını azaltarak çözüme kolaylık sağlamaktır. Böylece ifade daha sade halini almış olur.

Örnek: 5x+5y işleminde 5 sayısı ortaktır, bu nedenle de 5 parantezine alınır. Bunun sonucunda şu şekilde bir ifadeye dönüşür: 5.[x+y] =5x+5y

 

Gruplara Ayırma
 

Çarpanlara ayırma konu anlatımı yazımızda yer verdiğimiz ikinci bir yöntem de gruplara ayırmadır. İfadede bulunan her terimdeki ortak harf ve sayılar ikişerli, üçerli ya da daha fazla sayıda gruplarla gösterilebilir.

Örnek: bx+by+cx+cy=b.[x+y] +c.[x+y] =[x+y]. [b+c] ifadesindeki ‘bx+by+cx+cy’ kısmında bulunan b, c, x ya da y harflerinin ortaklığı ile paranteze alınabilir. TYT Matematik konuları başlıklı makalemizden üniversite sınavının ilk adımı olan TYT'de çıkan konuları ve soru dağılımlarını incelemenizi tavsiye ederiz. 

x²+bx+c ile Çarpanlara Ayırma
 

Üç terimli ‘x²+bx+c’ ifadesi c teriminden yararlanılarak çarpanlara ayrılma işlemi yapılır. Bu durumda c=m.n ile b=m+n biçiminde m ile n sayıları bulunabilir. Böylece ‘x²+bx+c=x²+(m+n)x+m.n=(x+m).(x+n)’ halini alır.

Örnek: (x²+2x) ²-7.(x²+2x)-8 ifadesini çarpanlarına ayrılma işlemini uygulayın.

Çözümü : Sorudaki ifadeden x²+2x=a alınır ise;

(x²+2x)-7(x²+2x)-8

=a²-7a-8=a²+(-8+1) +(-8).1

=(a+1). (a+8)=(x²+2x+1)(x²+2x-8)

=(x²+2.x.1+1²) (x²+(-2+4) x + 4.(-2))

=(x+1) ². (x-2).(x+4)
 

ax²+bx+c ile Çarpanlara Ayırma
 

a ile 0 eşit değilse ax²+bx+c biçimindeki ifadelerin çarpanlarına ayrılma işleminde a ile c’nin çarpanlarına bakılır. ‘a=m.n ile c=p.q’ olursa ‘b=mp+qn’ olur.

Örnek : 2x²+7x+3 ifadesini çarpanlarına ayırın.

Çözümü : 2x²+7x+3 =(2x+1). (x+3)
 

Değişken Değiştirme
 

Bu yöntemde, ifadedeki değişkenin veya herhangi bir ifadenin yerine, yeni bir değişen yazılır ve böylece ifade sadeleştirilir. Sade halini almış ifade çarpanlarına ayrılma işlemi uygulanır.

Örnek : (x²+x) ²-4(x²+x)-12 ifadesini çarpanlarına ayırın.

Çözüm : x²+x=a olsun.

a²-4a-12=(a-6(a+2)

=(x²+x-6) (x²+x+2)

=(x+3) (x-2) (x²+x+2) olur.
 

Sadeleştirme Yöntemi
 

Kesirli olan ifadelerin payı ve paydası, çarpanlarına ayrılma işlemi uygulanır. Ortak çarpanlar ise sadeleştirilir.

Örnek : x²-5x+6

X²-3x+2 ifadesinin en sade şeklini bulun.

Çözüm: x²-5x+6 = (x-2). (X-3) =x-3 olur.

X²-3x+2   (x-1).(x-2)     x-1
 

Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlik Konu Anlatımı
 

Çarpanlara ayırma konusu matematikte birçok konuyla iç içe geçmiştir. Bu konulardan biri de özdeşlik konusudur ve aynı zamanda çarpanlara ayırma yöntemleri arasında yer alır. İfadelerde bilinmeyenlere verilen her bir sayı değeri için sağlanan eşitlikler özdeşliği ifade eder. Çarpanlara ayırma konusunda fazlasıyla özdeşlikten faydalanılır. Çarpanlara ayırma konu anlatımı yazımızın devamında özdeşliklerin bazılarına yer vereceğiz.

İki Kare Farkı
 

Çarpanlara ayırma işlemindeki en önemli özdeşliklerdendir. Bu özdeşliği, iki sayının karelerinin arasındaki farkı, ifadedeki sayıların farkı ile toplamının çarpımına eşittir olarak açıklayabiliriz.

a²-b²=(a-b).(a+b) formülü kullanılarak çözümler yapılır.

ax² ax+bx+c ifadesinde a=1 ise toplamlar b, çarpımlar c sayısını veren m ve n sayılarını bulma yolu ile çarpanlara ayırma işlemini yapabiliriz.

Yani ‘ax²+bx+c= [x+m]. [x+n]’ şeklini alır.

a’nın 1’e eşit olmaması durumunda çarpımları ax² terimini sağlayan sx ve tx ifadeleri bulunur. Ondan sonra c sayısını veren m ve n sayıları bulunur. Online matematik derslerine ihtiyaçın mı var? Hemen linkte tıkla en iyi öğretmenleri keşfet!

Daha sonrasında ifadeler çapraz bir şekilde çarpılıp toplanarak ortasındaki sayıya ulaşılır. Ortadaki sayıyı bulduğumuzda ayrılan ifadeleri yan yana toplayarak birbirleri ile çarparız.

Örnek: (a²-4) ifadesini çarpanlarına ayırın.

Çözüm: a²-2²=(a-2) (a+2) olur.
 

İki Terim Toplamının Karesi
 

Tam kare özdeşliği de denir. İki terim toplamının karesi olarak ifade edilen şey, ‘Birinci ifadenin karesi, birinci ile ikinci çarpımının iki katı, ikincinin karesidir.’

[a+b]²=a²+2ab+b² formülü ile işlemler çözülür.

Örnek: x²+y²=10 ve x.y=3 olduğuna göre x+y kaç olur?

Çözüm:  (x+y) ²=x²+2xy+y² => (x+y) ²=102.3=16

(x+y)²=16 => x+y=4 olur.

İki Terim Farkının Karesi
 

Tam kare özdeşliği olarak da ifade edilir. İki kare farkı özdeşliği bulunurken birinci ile ikinci terimin karelerinin toplamından birinci terim ve ikinci terim çarpımının iki katı çıkarılır.

[a-b]²=a²-2ab-b² yukarıda ifade edilen tanım bu formülün yazıyla anlatılan kısmıdır.

Örnek : 2a- 1 =5 ise 4a²+1 ifadesinin değeri kaçtır?

a                a²

Çözüm: 2a- 1 =5 ifadesinin her iki tarafının da karesini alıyoruz.

a

=(2a- 1)² =5² =>4a² - 2.2a.1+1=25 olur.

a                              a  a²
 

İki Terim Toplamının veya Farkının Küpü
 

İlk olarak bahsedeceğimiz formül, İki terim toplamının küpü: (x+y) ³=x³+3x²y+3xy²+y³

İkinci olarak; İki terim farkının küpü: (x-y) ³=x³-3x²y+3xy²-y³

İki özdeşlikte binom açılımı ya da pascal üçgeni ile bulunabilir.

Her iki küp özdeşliği de 3+1=4 teriminden oluşur. İlk ve sonuncu terimde birinci ve ikinci terimin küpleri bulunur. İki terim farkının küpü, iki terim toplamının küpünün +,-,+,- olarak verilmiş halidir. Bundan dolayı da ilk ifadeyi ezberleyen ikinciyi de ezberlemiş olur.

Örnek: (x+3y) ³=x³+3x².3y+3x. (3y) ²+(3y) ³

Çözüm: =x³+9x³+3x.9y³+27y³

=x³+9x²+27xy²+27y³ olur.

İki Terim Küplerinin Toplamı veya Farkı
 

İki terim küplerinin toplamı ve iki terim küplerinin farkı özdeşliklerinde ilk ve son terim yalnız bırakılır ve diğer iki terim diğer tarafa atılır. Ortak çarpan parantezine alınca da toplam ve farkı özdeşlikleri ortaya çıkar.

İki terim küplerinin toplamı: a³+b³=(a+b). (a²-ab+b²)

İki terim küplerinin farkı: a³-b³=(a-b). (a²+ab+b²)

Örnek: x³+8 ifadesinin özdeşini yazın.

Çözüm: x³+8=x³+2³=(x+2). (x²-2x+4)

Tam Kare Özdeşliği ile Çarpanlara Ayırma
 

(x+y)²=x²+2xy+y² ve (x-y)²=x²-2xy+y² formüllerinden yararlanılarak çarpanlara ayırma işlemi yapılır.

İki terim toplamının karesi üç terimlidir. Üç terimli olan bir ifadede iki terimin karekökü alınıyor ve üçüncü terim de bu iki karekökün çarpımının iki katından olabiliyorsa bu tam kare olarak yazılır.

Birinci ve üçüncü terimler pozitif ise karekökleri alınır. Karekök çarpımının 2 katı ile ikinci terim bulunuyorsa ifade tam karedir. Tam karenin işareti de ikinci terimin işareti olur.

Örnek: x²+2x+1=x² + 2.x.1+1²=(x+1) ²

Çözüm: x²-6x+9=x²- 2.3.x+3² = (x-3) ²

=x²+6xy+9y² = (x)²+2.x.3y+(3y) ² = (x+3y) ²

=0,16-0,8y² + y = (0,4) ²-2.0,4.y² + (y²) ²=(0,4-y²) ²
 

Çarpanlara ayırma örnek soru çözümleri için örnek bir video linkini bırakıyoruz :)

https://www.youtube.com/watch?v=Gc8d5ZuYJKI

Sık Sorulan Sorular

Çarpanlara Ayırma Kaçıncı Sınıf Konusu?
 

8. sınıfta da yer alan çarpanlara ayırma konusu lisede de özellikle 10. sınıfta karşınıza çıkar. LGS Matematik konuları başlıklı makalemizden liseye geçiş sınavından çıkan konuları ve soru dağılımlarını inceleyebilirsiniz. 

Çarpanlara Ayırma Konusu 10. Sınıf Kitaplarında Hangi Ünitede?
 

Çarpanlara ayırma konu anlatımı 7. ünitede yer alıyor.

Çarpanlara Ayırma Hangi Sınavda Çıkar?

AYT ve TYT sınavlarında çarpanlara ayırma konusu çıkar.

Öneri: AYT Matematik konuları başlıklı makalemizden AYT'de çıkan tüm konuları ve soru dağılımlarını inceleyebilirsiniz.