Köklü İfadeler İpuçları - Köklü Sayılar Ders Notları

 Köklü ifadeler; kök içinde yer alan bir sayının kök dışına çıktığı ya da bir sayının kök içine girdiği matematik konusunu kapsar. Burada sayıların karesi ve küpleri kullanılır. Sayının kök içinden çıkması ve kökün yok olması için ya karesinin ya da küpünün olması gerekir.  Ancak sayı kareye ya da küpe sahip değilse çarpanlara ayrılır. Böylece sayının bir kısmı kökten çıkar, bir kısmı kalır.

Genel olarak ‘kök’ olarak bilinen bu konu √

xile ifade edilir. Bu kök içinde işlem yapılır. Bu kökün genel özelliği kare ve küp sayıları doğrudan sunmasıdır. Bu yüzden köklü soruları çözmeniz için kare ve küpleri bilmeniz gerekir.

Rasyonel sayılarla çözüme kavuşan bu konu kolay fakat detaylıdır. İçerdiği kurallara hakim olduğunuz sürece köklü sayıları çözmeniz mümkündür. Üniversite sınavında kendisine mutlaka bir yer bulan bu konuyu öğrenmeniz yalnızca matematiğinizi daha iyi hale getirmez, ayrıca sınavda daha iyi bir derece yapmanızı sağlar.

Bu konuyu içeren soruları rahatlıkla yapmanız için Özel Ders Alanı olarak size özel bir rehber hazırladık. Bu rehber sayesinde köklü ifadelerle işlemlerin nasıl yapıldığını ve bu ifadelerin özelliklerinin neler olduğunu öğrenmeniz mümkün. Matematik özel ders almak için linkten kriterlerlerinize en uygun öğretmenlerini keşfedip hemen ders talebi oluşturabilirsiniz. 

Öyleyse gelin köklerin sırrını beraber keşfedelim.

Köklü İfadeler ve Toplama-Çıkarma

Toplama ve çıkarma her konuya dahil olan temel bir işlemdir. Bu işlemin köklü ifadeler bağlamındaki hali ise gayet basittir.  Fakat bazı kurallar içerir. Bu kurallar;

• Kök derecelerinin aynı olması gerekir. Karekök ve küpkök arasında toplama çıkarma yapılmaz.
• Kök içindeki sayılar ise aynı olmasa bile toplanır ve çıkarılır.  Ancak bu sayıların katsayısı birbiriyle uyumlu olmalıdır.

Bu kurallar çerçevesinde gerçekleşen toplama ve çıkarma işlemi sonrasında geriye kök kalma ihtimali vardır. Ancak kök içindeki sayıların katları kara ya da küpe uygun ise işlem sonunda köksüz bir cevaba ulaşmak mümkündür.

Örneğin;

√9 + √16 ifadesini ele alalım.

Bu ifadeyi çözmek için her iki karekökü de ayrı ayrı hesaplamamız gerekiyor. Sonrasında ise sonuçları toplamalıyız.

• √9 hesaplaması: 9=3
• Çünkü 3×3=9
• Yani 9’un karekökü 3’tür.
• √16 hesaplaması: 16=4
• Çünkü 4×4=16
• Yani 16’in karekökü 4’tür.
• Şimdi, bu iki karekökü topladığımızda 4+3=7
• Cevabın 7 olduğunu buluruz.

Çıkarma işlemi de kökler arasında aynı şekilde yapılır. Kök içinde sayı kalması durumunda ise dışarıdaki sayılar birebiriyle, kök içindekiler de birbiriyle toplanır ya da çıkartılır. Bu işlemlerde dikkat isteyen en önemli unsur aynı özelliğe sahip olan değerler arası işlem yapılmasıdır.

Bu işlemler basit düzeydedir. Fakat sayılar değiştikçe ve katsayı taşımadıkça işlemler zorlaşır. Ancak endişe etmenize gerek yoktur. Köklü ifadeler düzenli çalışma ve soru çözümü ile çözebileceğiniz bir konudur. Üslü sayılar konu anlatımı başlıklı makalemizi linkten inceleyebilirsiniz. 

Çarpma İşlemi

Çarpma işlemi söz konusu olduğunda kökler farklı kurallar çerçevesinde işleme alınır. Çarpmadaki öncelik sırası köklü ifadeler için de geçerlidir. Ama bazı dikkat edilmesi gerekilen detaylar vardır. Bu detaylar;

• Çarpma işlemi yapılacak köklerin derecesi aynı ise, yani ikisi de karekök ya da aynı katsayıyı taşıyorsa sayılar kök içine alınabilir. Çarpma işlemi bu şekilde yapılır.  Bu işlemin matematiksel ifadesi;
  • a . b = a2+b2
• Kök içinde kareli ifadelere yer verilmesi de çarpma işleminin kapsamına girer. Bu yüzden kök içindeki ifadeleri mutlak bir değerde birleştirmek önemlidir. Çünkü kök içindeki kare ya da küple sunulan sayı çarpım işlemi sonrası kök dışına çıkabilir. Böylece çarpma sonrasında ortada kök kalmaz.

Bu şekilde yapılan çarpma işleminin ardından bir de bölme işleminin nasıl gerçekleştiğine bakalım.

Köklü İfadeler ile Bölme İşlemi

Bölme işlemini köklü ifadeler ile yapmak için dikkat edilmesi gerekilen iki kural bulunur. Bu kurallar;

İlk kural köklerin bölünmesini ifade eder.  Burada sorudaki kökler kendi aralarında bölünür ve tek kök olarak sonuçlanır. Bölme işleminin bu kuralının matematiksel ifadesi ise;

a : b = ab

Diğer kural ise köklü ifade karekök olduğu takdirde geçerlidir. Burada sayının karekökü başka bir sayıya bölünür. Bu işlemin matematiksel şekli ise;

ab : IaIb 

Bu formüller doğrultusunda yapılan bölme işlemi sayesinde karışık gibi gözüken soruları çözmeniz kolaylaşır. Özel Ders Alanı ile alacağınız derslerde öncelik bu işlemlerde pratik kazanmanızdır. Böylece sorular zorlaşmaya başlasa bile siz soruları rahatlıkla çözmeye devam edersiniz.

Köklü İfadelerin Özellikleri

Köklü ifadeler, soruları çözerken kullanabileceğiniz ve dikkate almanız gereken birtakım özelliklere sahiptir. Bu özellikler soruları daha kolay kavramanıza ve çözmenize yardımcı olur. Sorunun ne istediğine göre kullanılan bu özellikler;

• İkinci Dereceden (Karekök) ve Üçüncü Dereceden (Küpkök) Kökler
• Negatif Sayılar
• Kök İfadelerinin Çarpılması ve Bölünmesi
• Kök İfadelerinin Üssü
• Karesi Alınmış Sayının Karekökü
• Kök İfadelerinin Toplanması ve Çıkarılması
• Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar

Bu başlıkları barındırır. Her bir başlık köklü ifadelerin farklı bir şekilde ele alındığı sorularda kullanılır. Ayrıca bu başlıklar bu matematik konusunun ne kadar derin olduğunu gösterir. Şimdi bu konulara ayrıntılı bakarak ne olduklarını ve nasıl kullanabileceğimizi öğrenelim.

İkinci Dereceden (Karekök) ve Üçüncü Dereceden (Küpkök) Kökler

Kökler kare ve küp katlarına sahiptir. Yani sayıların iki katını ya da üç katını ifade eder. Dolayısıyla toplama, çıkarma ve çarpma gibi işlemler bu ilk özelliği temel alarak gerçekleşir.

• x karekökün temsilidir.
• 3x ise küpkökün temsilidir.

X’in değeri bu kökler içinde karesine ya da küpüne göre belirlenir. Eğer x, karesine ya da küpüne doğrudan ayrılamıyorsa çarpanlar şeklinde ayrılır. Böylece sayının bir kısmı hep kök içinde kalır. Ama kare ya da küp kısmı dışarı çıkar.

Negatif Sayılar

Pozitif değerler köklü sayıları oluşturur. Kök içine alınan sayılar pozitiftir. Ancak çok nadir durumlarda negatif sayılara denk gelme olasılığınız vardır. Negatif değerler kök içinde yer alabilir. Çözdüğünüz ve çözeceğiniz soruların birçoğunda genellikle pozitif değerlere rastlarsınız. Fakat kimi zaman negatif sayılara da kök işlemlerine dahil olur. Fakat bu noktada unutmamanız gereken tek bir kural vardır;

• Kök içindeki sayı negatif olsa bile dışarı pozitif olarak çıkar. 

Köklü ifadeler her zaman pozitif sonuç verir. İşlemde negatif değerler olması bu durumu değiştirmez. Bu yüzden işleme başlarken negatif değeri pozitife çevirebilir ya da bulduğunuz sonuç pozitif olur.

Kök İfadelerinin Çarpılması ve Bölünmesi

Köklü işlemler konusunda bahsettiğimiz çarpma ve bölme işlemleri soru çözümlerinde en sık kullanılan yöntemlerdir. Bunun nedeni kökün kendi içinde çarpma işleminin yapılmasıdır. Örneğin;

• 12 ifademiz olsun. Bu ifadeyi kökten çıkarmaya çalışırken 3.4 haline getiririz. 4 kökten çıkabildiği için bu ifadenin sonucu 23 olur.

Bölme işlemi ise üzerinde durduğumuz kurallar çerçevesinde gerçekleşir.

Kök İfadelerinin Üssü

Kök içinde üslü sayı bulanabilir. Dolayısıyla üslü sayı işlemi kök içinde gerçekleşir. Kökteki üslü sayı X yani kök içindeki sayı ile belirtildiği kadar çarpılır. Ulaşılan sonuç ise kökün katsayısına göre kare ya da küp almaya uygun ise dışarı çıkar ya da bir kısmı kök içinde kalır. Karaköklü ifadeler örnek sorular incelemek için linkten yararlanabilir, MEB tarafından hazırlanılan en güncel sorulara ulaşabilirsiniz. 

Dolayısıyla köklü ifadelerde üslü sayılara rastladığınızda endişelenmenize gerek yok. Bu sorularda önce üslü işlemi sonrasında ise kökü yapmanız gerekir. Kullanacağınız matematik formülü ise;

• (a)ⁿ = aⁿ

Bu formül ile çözülen üslü ifadeler görüldüğü kadar karmaşık değildir. Konu ile alakalı bol bol soru çözerek bu özellikleri pekiştirebilirsiniz. Özel Ders Alanı ile aldığınız dersler köklü sayıları daha iyi kavramanıza yardımcı olur.

Böylece karşınıza çıkan soruların hangi işlemi istediğini kolaylıkla çözebilir, matematikte daha başarılı bir performansa sahip olursunuz.

Karesi Alınmış Sayının Karekökü

Kök içinde yer alan üslü sayılardan bahsettik. Peki bu sayıların karekök içinde olduğunuz varsayalım. Varsayımımızı da kök içindeki ifadenin bir kare olmasıyla güçlendirelim. Bu durumda sonuç ne olur? Sayı kökten çıkar mı?

Evet, sayı kökten ayrılır. Üslü işlemin yapılmasından sonra kökü alınan sayı doğrudan dışarı çıkar. Fakat dışarı çıktığında mutlak değer dönüşür. Çünkü bir sayının karesinin kökü, söz konusu sayının mutlak değerine eşit olur. Bu durumun formülü ise;

• a² = IaI

Bu şekilde ifade edilen bu durum kimi soruların hızlı bir şekilde çözüme ulaşmasını sağlar.

Kök İfadelerinin Toplanması ve Çıkarılması

Toplama ve çıkarma neredeyse her matematik konusuna dahil olan temel işlemlerdir. Bu işlemler köklü sayılarda, üslü sayılarda ve daha birçok konuda kullanılır. Köklü sayılarda bu işlemlerin nasıl gerçekleştiğine değindik. Üzerinde durduğumuz kurallara dikkat ettiğiniz sürece kökleri rahatlıkla toplayabilir ve çıkarabilirsiniz.

Bu işlemlerin en basit hali sayıların kökten çıkması durumunda yapılır. Ancak kök içinde kalan sayılar da işleme dahil olduğunda işler başkalaşır. Bu işlemlerin gerçekleşmesi için kök içindeki sayının aynı olması gerekir.

Eğer sayı aynı değilse kök içinde çarpanlarına ayrılır, işlem kök içindeki sayılar aynı olduğunda gerçekleşir. Bu konuya hakim olmak için rehberimizdeki ‘Toplama ve Çıkarma’ bölümünü tekrar edebilir ya da Özel Ders Alanı’na ulaşabilirsiniz.

Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar da karşımıza sık sık çıkan konulardan biridir. Bu sayılar tam ya da kesirli sayıların geneline verilen bir isim olan rasyonel köklü işlemlerde de yer alır. İrrasyonel sayılar ise rasyonel başlığı altında yer almayan, değeri sonsuza giden sayılardır.

Bu sayıların köklü ifadeler ile ilişkisi başkadır. Kökten çıkabilen sayılar, örneğin;

• 9 rasyonel bir sayıdır.

Ancak kökten çıkamayan yani net bir değeri olmayan köklü sayılar irrasyoneldir. Örneğin;

• 11

Dolayısıyla köklü sayılar konusunda rasyonel ifadeler sonuca ulaşabilirken, irrasyonel olan kökler sonuca ulaşamaz. Çözülmeyen, kökten çıkmayan sayılar irrasyonel olarak sonsuz bir değer taşır. Sayıların rasyonel olup olmadığını köklü ifadeyi çözüme kavuşturduğunuzda anlarsınız. Bu yüzden kök yok olmadığında sorunun yanlış olduğunu düşünmek yerine cevabın irrasyonel olduğunu kabul etmek gerekir.

Köklü ifadeler hakkında öğrenmeniz gereken konu başlıkları bunlardır. Size özel olarak sunduğumuz bu rehber sayesinde kuralları kavrayarak soru çözmeniz mümkündür. Bol soru çözerek daha iyi anlayacağınız bu konularda kafanızı karıştıran bir nokta var ise Özel Ders Alanı sizinle.

Özel Ders Alanı ile köklü sayıları en temelinden öğrenir, kuralları uzman öğretmenin hazırladığı sorular ile pekiştirirsiniz. Aklınızda daha kalıcı bir yer edinen bu konu sayesinde hem okuldaki matematik notunuz hem de üniversite sınavındaki puanınız artış gösterir. Online matematik dersi almak için linkten Türkiye'nin en iyi matematik öğretmenleri inceleyebilir, hemen ders talebi oluşturabilirsiniz. 

bu konuda size yardımcı olur. Etkili ders anlatımları ve soru çözümleri ile köklü ifadeleri kavramak artık çok daha kolay!Özel Ders AlanıKöklü sayılar basite indirgenen bir konu olabilir ancak bu konunun aşama aşama işlenmesi, soruların kurallara göre çözülmesi gerekir.