İşçi Havuz Problemlerini Kalemsiz Çözmenin Püf Noktası

Bu yazımda birçok öğrencinin korkulu rüyası olan HAVUZ PROBLEMLERİ üzerinde durmak niyetindeyim. Çoğunuzun Havuz kelimesini duyar duymaz bile tabanları yağladığınızı hisseder gibiyim. Aman durun bir yere kaçmayın.

Eğer biri size sınavda gördüğünüz zaman soruyu atladığınız Havuz Problemlerini kalemsiz bile çözebileceğinizi söylese, tepkiniz ne olurdu???

Evet yanlış duymadınız dostlarım, bu yazı serisini okuduktan sonra "Havuz Problemleri"ni kaleme bile ihtiyaç duymaksızın çözeceksiniz, aynı zamanda sadece Havuz Problemlerini de değil "İşçi Problemleri"ni de rahatlıkla çözeceksiniz. Zîrâ bu iki problem türünün mantığı birebir aynı. Ayrıca sadece bu kadar küçük bir fayda elde etmekle de kalmayacaksınız. Çünkü iddia ediyorum bu yazıyı okuduktan sonra MATEMATİK dersine bakış açınız komple değişecek. Şimdi sizi daha da fazla meraklandırmadan yavaş yavaş paçaları sıvamaya başlayalım. Haydi Bismillâh...

Bir yazı serisi hâlinde anlatacağım bu konuyu şimdi basitten zora doğru irdeleyelim;

Soru: Boş bir havuzu bir musluk tek başına 10 saatte, diğer bir musluk tek başına 20 saatte dolduruyorsa, ikisi birlikte açıldığında boş havuz kaç saatte dolar?

Şimdi sorunun cevabını aramayı unutun. Meselemiz ilk adımda cevabı bulmak olmayacak. Adım adım ilerleyeceğiz. İlk sorumuz şöyle;

-  Acaba iki muslukta açıldığında bu havuz 20 saatten daha uzun bir sürede mi dolacak, yoksa 20 ile 10 saat arası bir zaman diliminde mi dolacak, yoksa 10 saatten daha az bir sürede mi dolacak?

Ne dersiniz? Yazıyı okumayı burada bir anlığına erteleyip, bir cevabı düşünün bakalım? Cevap hangisi ve sebebi nedir? Düşünün...

Şimdi devam edelim düşündüyseniz. Burada ara bir soruyla size yardımcı olayım.

- İki muslukta özdeş olup her biri tek başına 20 saatte doldursaydı, bu havuz kaç saatte dolardı?

10 saatte dediğinizi duyar gibiyim. Nedenini sorsam peki?...

Burada şu cevabı vermelisiniz;

Eğer bir musluk tek başına havuzun tamamını 20 saatte dolduruyorsa, 10 saatte yarısını doldurur. İki muslukta özdeş olup 10 saatte havuzun yarısını dolduracağından, havuz 10 saatte tamamen dolmuş olacaktır.

Buradan hareketle ilk sorumuza dönelim. Eğer iki muslukta 20 saatte dolduracak olsaydı, havuz 10 saatte tamamen dolmuş olacaktı. Ancak musluğun birisi 20 saatte doldururken, diğeri 10 saatte dolduruyor. 10 saatte dolduran musluk 20 saatte dolduran musluktan daha hızlı doldurduğuna yani birim zamanda havuza daha büyük hacimde su doldurduğuna göre, ikisi 20 saatken 10 saate doluyorsa, biri 10 diğeri 20 saatken bir musluk daha hızlı olduğundan, havuz 10 saatten daha az bir zaman diliminde dolmuş olacaktır.

Şuan ilk adımı atmış olduk. Şimdi işi biraz daha ileriye taşıyalım. İkinci sorumuz da şöyle olacak;

- Havuzun 10 saatten daha az bir zaman diliminde dolacağını idrâk ettik. Peki havuz tam 5 saatte mi dolar, yoksa 5 saatle 10 saat arası bir zaman diliminde mi dolar, yoksa 5 saatten daha az bir sürede mi dolar?

Ne dersiniz? Burada da düşünmek için kendinize zaman tanıyın. Cevabı ve sebebini belirlediyseniz, okumaya devam edebilirsiniz...

Burada da ara bir soruyla size yardımcı olayım.

- İki muslukta özdeş olup her biri tek başına 10 saatte doldursaydı, bu havuz kaç saatte dolardı?

5 saatte dediğinizi duyar gibiyim. Nedenini sorsam peki?...
Burada şu cevabı vermelisiniz;
Eğer bir musluk tek başına havuzun tamamını 10 saatte dolduruyorsa, 5 saatte yarısını doldurur. İki muslukta özdeş olup 5 saatte havuzun yarısını dolduracağından, havuz 5 saatte tamamen dolmuş olacaktır.

Buradan hareketle ikinci sorumuza dönelim. Eğer iki muslukta 10 saatte dolduracak olsaydı, havuz 5 saatte tamamen dolmuş olacaktı. Ancak musluğun birisi 10 saatte doldururken, diğeri 20 saatte dolduruyor. 20 saatte dolduran musluk 10 saatte dolduran musluktan daha yavaş doldurduğuna yani birim zamanda havuza daha küçük hacimde su doldurduğuna göre, ikisi 10 saatken 5 saate doluyorsa, biri 10 diğeri 20 saatken bir musluk daha yavaş olduğundan, havuz 5 saatten daha fazla bir zaman diliminde dolmuş olacaktır.

 Şimdi ana sorumuzu tekrardan dönelim ve hangi aşamada olduğumuza bir bakalım. Sorumuz şuydu;

--- Boş bir havuzu bir musluk tek başına 10 saatte, diğer bir musluk tek başına 20 saatte dolduruyorsa, ikisi birlikte açıldığında boş havuz kaç saatte dolar?

Bu havuzun (büyük sayımız 20'nin yarısı olan) 10 saatten daha az bir sürede, (küçük sayımız 10'un yarısı olan) 5 saatten daha fazla bir sürede dolacağı sonucunu elde ettik. Yani havuz 5 ile 10 arası bir saat diliminde dolacaktır.

BURADAN ÇIKAN NETÎCELER;

Havuz problemlerini çözmenin püf noktaları
 

1. İki tane musluğumuz varsa, havuz bunların tek başına doldurdukları sürelerin yarıları arasındaki bir zaman diliminde dolacaktır. Biri 10 biri 20 saatte dolduruyorsa, havuz 5 ile 10 saat arasında dolacaktır. Aynı şekilde musluklarınızdan birisi 15 birisi 20 saatte dolduruyor olsaydı, ikisi birden açıldığında 7,5 ile 10 saat arası bir sürede dolacaktı.
   
    
2. Soruyu gördüğünüzde sayıların yarılarını hemen düşünerek bir iki saniye içerisinde havuzun dolacağı zaman aralığını hesaplayarak, şık eleme yöntemiyle direkt sonuca ulaşabilir yahut mevcut seçenekleri en aza indirebilirsiniz. Ancak bu tarz şeyleri sevmediğimi de peşinen belirteyim. Bunu sadece bir bilgi olarak sunuyorum. Yoksa bu asla bilimsel bir yaklaşım tarzı olamaz. Ben de bundan olabildiğince uzak duruyorum anlattığım derslerde.

Şimdi havuzun dolacağı zaman dilimi hususunda alanı epey daralttık, şimdi sonucu netleştirelim.  "Peki bu havuz kaç saatte dolacak?". Heyecanlandığınızı ve merakla beklediğinizi hissetmekteyim. Ancak yazı epeyce uzadığından ve bir seri halinde devam edeceğinden.

İPUCU: Özel Ders Alanı'nda online matematik dersleri alabileceğiniz binlerce öğretmen mevcuttur. Hemen linke tıkla ihtiyaçlarına en uygun matematik öğretmeni keşfet.

Herkesin korkulu rüyası olan "Havuz Problemleri"ni Kalemsiz ve Formül Kullanmadan Çözmek İsteyenler yerlerini aldıysa, yolculuğumuza hız kesmeden kaldığımız yerden devam edebiliriz...

Şimdi sorumuzu tekrardan hatırlayalım ve kaldığımız yerden devam edelim. Sorumuz şöyle idi;

---Boş bir havuzu bir musluk tek başına 10 saatte, diğer bir musluk tek başına 20 saatte dolduruyorsa, ikisi birlikte açıldığında boş havuz kaç saatte dolar?

Bu havuzun 5 ile 10 saat arası bir zaman diliminde dolması gerektiğini îzâh etmiştik. Şimdi ise hiç kalem kullanmadan bu havuzun kaç saatte dolacağını net bir şekilde ortaya koyacağız...

- Burada "ilk atılması gereken adım" havuzun hacmini belirlemektir!!!

Şimdi bununla ilgili bir iki kelâm edelim. Unutmayın, Havuz Problemlerinde ilk atılacak adım havuzun hacmini belirlemektir. İşçi Problemlerinde ise ilk atılması gereken adım işin miktarını belirlemektir. Bu ikisinin aslında aynı şeye tekâbül ettiğini(karşılık geldiğini) belirtelim. Neden mi? Bir düşünün, işin miktarı dediğimiz şey aslında iş hacmidir. Ya da diğer bir açıdan bakacak olursak, havuz problemlerinde muslukların yapacağı iş, havuzun tamamını doldurmaktır. Dolayısıyla havuzun hacmi, yapılacak işin miktarıdır. Birinde işçiler insanlarken, diğerinde işçiler musluklardır. Dolayısıyla işçi problemlerinde işçileri musluk olarak, işi bitirme vakitlerini havuzu doldurma vakitleri olarak, işin tamamını havuzun hacmi olarak düşünebilir, bu iki problem tarzını birbirine dönüştürerek çözebilirsiniz. Buraya yazının sonunda tekrar değineceğim.

- Şimdi ilk atılması gereken adım işin tamamını belirlemek dedik ki, havuz problemleri için bu havuzun hacmi demektir. Peki havuzun hacmini neye göre belirleyeceğiz???

- Bunun için muslukların tek başına doldurma süreleri olarak bize verilen sayıların EKOK'unu alacağız.

EKOK/OKEK yani en küçük ortak kat. Burada hemen şunu belirteyim ki, muslukların 2 ,3 ya da 4 tane olması yâhut kimisinin dolduruyor kimisinin boşaltıyor olması hiç farketmez. Elimizde kaç musluk olursa olsun, ister dolduran musluk ister boşaltan musluk olsun, bu muslukların tek başına doldurma yâhut boşaltma sürelerinin OKEK'lerini alacağız. Zâten bununla ilgili zor sorulara ilerleyen yazılarda değineceğim.

Bu arada şunu da belirteyim ki, sorular gitgide zorlaşacak ve biz her seferinde kalemsiz ve formülsüz çözeceğiz. Bu soruların çözümünü de burada olduğu gibi uzatmayacağım. Şimdi işin girişinde olayın mantığını yerleştirmeye çalıştığımdan, meseleyi uzun uzadıya ele alıyor, her bir taşı yerli yerine oturtarak ilerlemeye çalışıyorum.

- Bizim verdiğimiz soruda muslukların biri 10 saatte diğeri 20 saatte dolduruyordu. Bu iki sayının ortak katlarının en küçüğü ya da diğer bir deyişle en küçük ortak katları 20 dir. Dolayısıyla havuzun hacmine "20x" diyeceğiz.

İPUCU: (EKOK/OKEK almayı bilmiyorsanız, lütfen evvelâ bununla ilgili bilgilerinizi tazeleyiniz. Bununla ilgili de çok basit tekniklerim var ancak bu yazının konusu olmadığından girmeyeceğim. Belki ilerleyen yazılarda istek olursa değiniriz. Elimizdeki sayılar özelinde şu kadarını söyleyeyim ki, eğer verilen iki sayıdan büyük olan küçük olanın tam katı ise, büyük olan sayı bu iki sayının OKEK'idir.)

- "Atılacak ikinci adım" ise, her bir havuzun 1 saatte havuza kaç x hacimlik su doldurduğunu belirlemek olacaktır.

Havuzun tamamı 20x hacimde olduğuna göre; bu havuzu tek başına 20 saatte dolduran musluk, her 1 saatte bu havuza x miktarı hacimde su dolduruyorken, havuzu tek başına 10 saatte dolduran musluk havuza her 1 saatte 2x miktarı hacimde su dolduruyor demektir.

- "Atılacak üçüncü adım" ise, iki musluğun birlikte bu havuza 1 saatte toplam kaç x miktarı hacimde su doldurduğunu belirlemektir.

Takdîr edersiniz ki epey kolay bir işlem. "x+2x" ten 3x hacim olduğunu kolaylıkla görebilirsiniz.

Demek ki her iki musluğun ayrı ayrı 1 saatte havuza akıttıkları toplam su miktarı hacmi 3x.

- Geriye son bir adım kaldı. O da 1 saatte havuza akıtılan toplam su miktarını, havuzun toplam hacmine bölerek, bu havuzun her iki musluk da açıldığında kaç saatte dolacağını tesbît etmek.

Her bir saat 3x miktarı su akıtılarak, 20x hacmindeki bir havuz kaç saatte dolar?

Çok basit bir soru değil mi. Ancak belki bazı arkadaşlarımız yine de zorlanabilir. Kullanacağımız şey direkt olarak bölme işlemidir. Bu durumda 20x/3x 'ten 20/3 saatte havuzun tamamının dolacağını görebiliriz. 

Bunu direkt düşünemeyenler soruya şöyle yaklaşabilir. Eğer 21x olsaydı toplam hacim, her saat 3x akıtılarak kaç saatte dolardı diye sorsaydım herkesin cevabı hiç düşünmeksizin 7 olurdu. Peki nasıl bulduk bu sonucu? 21 i 3 e bölerek. Aynı şekilde burada da 20 sayısını 3 e bölecek ve havuz 20/3 saatte dolar diyeceğiz. Burada sakın 20 yi 3 e bölmeye çalışmayalım. Zaten şıklarda 20/3 ü göreceksiniz.

Şimdi yazının sonunda bundan bahsedeceğim dediğim meseleye gelelim ve niye havuz problemleriyle işçi problemlerinin mantığının aynı olduğunu görelim. 

Sorumuz ya şöyle olsaydı;

Örnek İşci Problemleri Sorusu
 

Soru: Bir işçi bir işi tek başına 10 saatte, diğer bir işçi aynı işi tek başına 20 saatte bitirmektedir. İkisi birlikte çalıştığında bu işi toplam kaç saatte bitirirler?

Arkadaşlar, dikkatlice düşünürseniz, bunun incelediğimiz havuz probleminden hiçbir farkı olmadığını rahatlıkla görebilirsiniz. Cevabımız yine 20/3 saat olacaktır. Niye mi?

İşin tamamına 10 ve 20 sayılarının OKEK'i olan 20 sayısını baz alarak 20x diyelim. Tek başına işin tamamını 10 saatte bitiren saatte 2x miktarı iş yapmakta, tek başına 20 saatte bitiren saatte x miktarı iş yapmaktadır. Dolayısıyla saatte ikisi birlikte toplam 3x miktarı işi bitirmektedirler. Buradan hareketle toplam iş miktarı 20x in aynı mantıkla 20/3 saatte bitirileceğini rahatlıkla görebiliriz.

Soru şöyle olsaydı;

---Bir işçi bir işi tek başına 10 günde, diğer bir işçi aynı işi tek başına 20 günde bitirmektedir. İkisi birlikte çalıştığında bu işi toplam kaç günde bitirirler?

Değişen hiçbir şey yok. Bu durumda sadece zaman birimi değişir ve cevap 20/3 gün olurdu.

Bu basit soru üzerinde mantığı kavradığımıza göre, artık daha kompleks ve zor sorulara geçebiliriz. Hem de çok daha hızlı bir şekilde çözebiliriz. 

Not: Bu arada 2 yazı boyunca uzun uzadıya anlattığıma bakmayın. Birkaç örnek üzerinden pratikleştiğinizde yukarıdaki soruyu hiç kalem ve formül kullanmadan (en fazla 20x, x, 2x ve 3x ifâdelerini kağıdın bir kenarına unutmamak için yazarak) bu şekilde 3-5 saniye içinde çözebilirisiniz. Şahsen ben bu şekilde yapıyor ve sizlere tavsiye ediyorum. Bu hem size zaman kazandırır hem de işin mantığını iyice kavramış olursunuz.

Peki ya 2 den fazla musluk olsaydı, bunların hepsi doldurmasa da bir kısmı doldururken bir kısmı da havuzdan su boşaltsaydı, o zaman nasıl çözerdik???

İşte tüm bunların cevabı bir sonraki yazımızda. Takipte kalın dostlarım...